Aralarında Asal Ne Demek? Tanımı, Örnekleri ve Uygulamaları
“Aralarında asal” ifadesi, matematikte iki ya da daha fazla doğal sayının, ortak pozitif bölenlerinin yalnızca 1 olması anlamına gelir. Yani bu sayılar birbirine bölünemez; ancak 1 sayısı her ikisinin de bölenidir. Bu kavram, sadece asal sayılarla değil, asal olmayan sayıların bile birbiriyle olan ilişkisini anlamamıza yardımcı olur.
Örneğin, 8 ve 15 sayıları asal sayı değildir. Ancak bu iki sayının ortak bölenleri yalnızca 1 olduğu için aralarında asaldırlar.
Aralarında Asal Olmanın Anlamı
İki sayının aralarında asal olması:
Sayılar arasında hiçbir ortak asal çarpan olmadığını gösterir.
Bu iki sayının birbirini tam bölmediği anlamına gelir.
Matematikte modüler aritmetik, şifreleme algoritmaları, kesir sadeleştirme gibi birçok alanda kullanılır.
Bu kavram, yalnızca akademik matematik için değil, günlük hayatta oranlama, ölçme, oranların sadeleştirilmesi gibi işlemlerde de önemlidir.
Asal Sayıların Formülü Nedir?
Öncelikle “asal sayı” ile “aralarında asal” kavramlarını karıştırmamak gerekir.
Asal sayı: Sadece 1 ve kendisine bölünebilen, 1'den büyük doğal sayılardır.
Aralarında asal sayı: İki farklı sayının ortak bölenlerinin yalnızca 1 olması hâlidir.
Matematikte asal sayılar için net ve tek bir formül olmamakla birlikte, aşağıdaki genel kurallar geçerlidir:
En küçük asal sayı 2’dir.
2 dışındaki tüm asal sayılar tek sayı olmak zorundadır.
Herhangi bir asal sayının faktörleri sadece 1 ve kendisidir.
Örnek Asal Sayılar:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29...
Unutulmaması Gereken:
1 sayısı asal değildir. Çünkü yalnızca tek böleni 1’dir, bu da asal sayı tanımına uymaz.
Aralarında Asal Sayı Örnekleri
Aşağıda, çeşitli sayı çiftlerinin aralarında asal olup olmadığını gösteren örnekler verilmiştir:
(3, 4) → ✅ Aralarında asal
(6, 8) → ❌ Aralarında asal değil (ortak bölenleri 2)
(7, 10) → ✅ Aralarında asal
(9, 12) → ❌ Aralarında asal değil (ortak bölenleri 3)
(14, 15) → ✅ Aralarında asal
(8, 15) → ✅ Aralarında asal
(16, 24) → ❌ Aralarında asal değil (ortak bölenleri 8)
Bu örnekler, asal sayı olmadan da iki sayının aralarında asal olabileceğini gösterir.
1 ile Aralarında Asal Sayılar
Her doğal sayı, 1 ile aralarında asaldır. Çünkü 1’in yalnızca bir böleni vardır: kendisi.
Örnekler:
(1, 2) → Aralarında asal
(1, 100) → Aralarında asal
(1, 9999) → Aralarında asal
Bu durum, 1’in tüm sayılar için evrensel bir ortak bölen olduğu anlamına gelir.
2 ile Aralarında Asal Sayılar
Bir sayının 2 ile aralarında asal olabilmesi için, çift olmaması gerekir. Çünkü tüm çift sayılar 2 ile bölünebilir.
Aralarında asal olanlar:
(2, 3) → ✅
(2, 5) → ✅
(2, 7) → ✅
Aralarında asal olmayanlar:
(2, 4) → ❌
(2, 6) → ❌
(2, 10) → ❌
Kural: 2 ile aralarında asal olan sayılar daima tek sayılardır.
3 ile Aralarında Asal Sayılar
3 ile aralarında asal olan bir sayının, 3’e bölünememesi gerekir.
Aralarında asal olanlar:
(3, 4)
(3, 10)
(3, 17)
Aralarında asal olmayanlar:
(3, 6)
(3, 9)
(3, 15)
Kural: Sayı, 3’ün katı değilse ve 3 harici ortak böleni yoksa, 3 ile aralarında asaldır.
12 ile Aralarında Asal Sayılar
12 sayısının asal çarpanları: 2 ve 3
Bu nedenle, 2 veya 3’e bölünmeyen sayılar, 12 ile aralarında asal olabilir.
Aralarında asal olan örnekler:
(12, 5) → ✅
(12, 7) → ✅
(12, 11) → ✅
Aralarında asal olmayanlar:
(12, 6) → ❌
(12, 9) → ❌
(12, 4) → ❌
Kural: 12 ile aralarında asal olan bir sayı, 2 ve 3’ün katı olmamalıdır.
Gerçek Hayattan Kullanım Alanı: Aralarında Asal Sayıların Sadeleştirme Gücü
Bir matematik öğretmeni düşünelim. Öğrenciye şu kesiri sadeleştirmesini söylüyor:
18 ve 25 aralarında asal mı?
Hayır. 25’in asal çarpanı 5’tir, 18’in ise 2 ve 3’tür.
Ortak bölenleri yok → ✅ Bu iki sayı aralarında asaldır.
Sonuç: Kesir zaten sadeleşemez. Bu kavram, en sade kesirleri bulmak, oranları karşılaştırmak ya da şifreleme algoritmaları (örneğin RSA) oluşturmak gibi alanlarda kullanılır.
Sıkça Sorulan Sorular
Aralarında asal olmayan sayılar ne anlama gelir?
İki sayının ortak böleni 1’den başka da varsa, bu sayılar aralarında asal değildir. Örneğin (6, 9) → ortak bölenleri: 1 ve 3.
Asal sayılar her zaman aralarında asal mıdır?
Eğer iki asal sayı birbirinden farklıysa, her zaman aralarında asaldırlar. Çünkü asal sayıların sadece kendileri ve 1 ile böleni vardır.
0 ile herhangi bir sayı aralarında asal mıdır?
Hayır. Çünkü 0, tüm sayılarla bölünebilir ama 0’ın böleni tanımlı değildir. Bu yüzden 0 ile hiçbir sayı aralarında asal sayılmaz.
En küçük aralarında asal sayı çifti hangisidir?
(1, 2) çifti, aralarında asal olan en küçük doğal sayı çiftidir.
Birlikte Hiçbir Yere Bölünmeyen Sayılar: Aralarında Asal Olmanın Sırrı
Aralarında asal olmak, yalnızca matematiksel bir tanım değil; aynı zamanda uyumlu ama bağımsız çalışmanın bir simgesidir. Birbirine karışmayan, ama birlikte bir bütünlük oluşturan bu sayılar, tıpkı farklı görevlerde aynı hedefe yürüyen insanlar gibidir. Asal sayı kavramıyla karıştırılmaması gereken bu tanım, matematiğin hem estetik hem de mantık yönünü keşfetmek için değerli bir kapıdır.